On déduit des deux égalités proposées: cd + c = 12 soit c(d + 1) = 12.

 Les seuls diviseurs de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12. 

Donc d peut prendre les valeurs: 0, 1, 2, 3, 5 et 11.

Réciproquement, chacune de ces 6 valeurs permet de calculer la valeur de c correspondante

puis connaissant la somme a + b, il existe un (ou plusieurs!) entier a et un entier b tels que a, b, c, d vérifient les deux égalités.

Voici un exemple de solution pour chacune des 6 valeurs de d (j'ai choisi - sauf pour d = 0 - a = 1, on peut prendre autre chose!)

Voici la proposition de réponse au problème du mois de JEAN ROCHET (2nde 7):

  On a : a, b, c et d  quatre entiers naturels
a + b = cd (équation 1)
a + b + c = 12 (équation 2)

Donc d'après l'équation 1, on a: a + b = cd
donc si on ajoute c de chaque côté, l'égalité reste juste, donc : a + b + c = cd + c
Et d'après l'équation 2 : a + b + c = 12 donc cd + c = 12
On factorise cd + c, ce qui donne : c(d + 1) = 12

Comme c et (d + 1) sont des entiers naturels et que c x (d + 1) = 12 alors c et (d + 1) sont des diviseurs de 12.
Liste des diviseurs de 12: 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Donc les valeurs possibles de c et (d + 1) sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Donc les valeurs possibles de d sont : (1 - 1), (2 - 1), (3 - 1), (4 - 1), (6 - 1) et (12 - 1)
Soit valeurs possibles de d : 0, 1, 2, 3, 5 et 11
Donc soit S l'ensemble des solutions de l'équation cd + 1 = 12 ,  S = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 11}

Jean Rochet 2nd 7

Vous n'êtes pas allé jusqu'au bout de l'exercice. Vous vous contentez de résoudre une équation intermédiaire (c x (d + 1) = 12 )

Il reste à vérifier (c'est une réciproque) que les solutions trouvées sont aussi solutions du système proposé!

Vous avez très bien vu l'utilisation des diviseurs de 12!