Voici la réponse proposée par les lauréats!

  Nous pensons avoir trouvé la solution à votre problème du mois. Voici notre explication:
On cherche le dernier nombre possible de 7 chiffres qui est: 1111111. Puis on le convertit du binaire au système décimal, pour trouver le nombre de nombres pouvant s'écrire avec des 1 et des 0 et strictement inférieur à 10000000 .
Ce qui donne 123, on rajoute le 0, ça nous donne 124.
On multiplie par 7, ce qui nous donne le nombre total de 1 et 0. Etant donné qu'il y a autant de 0 que de 1, on divise par 2 pour trouver le nombre de 1: 124X7 = 962
962/2 = 481.

Nous signalons une erreur aux auteurs, puis....

Nous nous sommes effectivement trompé car 1 111 111 est égale en binaire à 127. On rajoute le 0, ce qui donne 128. Il y a donc 128 nombres de 1 à 7 chiffres s'écrivant qu'avec des 1 et des 0. (et non 124)
On peut considérer que tous ces nombres sont composés de 7 chiffres minimum (Par exemple: 101 peut aussi s'écrire 0 000 101), donc si on fait la liste de ces 128 nombres de 7 chiffres, on pourra compter 128 X 7 chiffres au total, c'est à dire 896. Étant donné que l'on trouvera exactement le même nombre de 0 que de 1, on divise par 2 ce qui donne 896 : 2 = 448
448 est la réponse du problème.
 
Natacha Colombies, Jean Rochet 

Bravo!!!

 

Voici notre solution, très proche de celle des élèves:

Si on nous avait demandé le nombre de "0", le problème aurait été plus difficile!!!

Ces nombre sont écrits avec seulement des "0" et des "1", et ils ont 7 , ou moins de 7, chiffres. On peut considérer qu'un nombre de 4 chiffres en a aussi 7 à condition de dire que les 3 premiers sont des "0". Même chose avec n'importe quel nombre de moins de 7 chiffres.

On est donc ramené à compter les "suites" de 7 chiffres (que des 0 ou des 1), puis de compter les 1.

Le premier chiffre est soit un 1 soit un 0. Il y a 2 choix possibles. Pour chacun de ces deux choix, il y a 2 choix pour le 2ème chiffre, ce qui donne 4 possibilités pour choisir les deux premiers chiffres. Vous voyez qu'il y en a deux fois plus pour choisir les 3 premiers. Il y a de même,  27 "suites" de 7 "1 ou 0".

Traditionnellement, on illustre cette situation par un "arbre" : Au départ 2 "très grosses branches" qui se divisent en 2 "grosses", chacune des 4 se divisent en deux moins grosses, chacune des 8 se divisent en 2 moyennes, etc. etc. jusqu'à avoir épuisé les 7 "niveaux". (faites un schéma, c'est trop compliqué ou trop long, pour moi sur l'écran)

 

Et maintenant, combien de 1??

D'après la symétrie de notre arbre, il n'y a aucune raison qu'il y ait plus de 0 que de 1 ou le contraire. Il y a autant de 1 que de 0, quand on a écrit nos 128 suites. Le nombre de 1 est donc la moitié de 7 fois 128 soit: 448

Notez que le nombre de 0, n'est pas aussi simple à trouver à cause des 0 situés avant le premier 1.

Si on observe l'arbre (que vous avez dessiné!!), on voit que la moitié des branches (64) commencent par un 0. La moitié de ces 64 commencent par 2 "0". Etc. etc.

Il y a donc: 64 + 32 + 16 + 8+ 4+ 2 + 1  = 128    "0" avant le premier "1". Il y a donc 320 zéros!