Correction du problème d'octobre 03

On va utiliser la (double) inégalité triangulaire:

Pour tous points  A, B, M  du plan, on a: valeur absolue( AM - BM)< ou = AB< ou = AM + BM

NB: Si vous avez oublié (ou jamais appris) cette relation, un petit schéma et un peu de bon sens devraient suffire! 

Question 1: O = A

De la relation précédente, avec AI = 5 et IJ = 1, on tire:     4 <= AJ <= 6. Le point J décrit donc la surface S limitée par les cercles de centre A et de rayons 4 et 6.

Question 2

Pour tout point O du segment [AB], les positions possibles de J sont les points de l'image de S par la translation de vecteur AO. L'ensemble cherché est donc deux demi-disques de rayon 6 qui enserrent un rectangle de longueur 6 et de largeur 4, dans lequel on a pratiqué un "trou", intersection de deux cercles de rayon 4 dont le centre de l'un est un point de l'autre. (ouf!!)

Question 3

Aire du rectangle: 48

Aire des demi disques: 36 pi

Aire du trou:

Rappel: aire d'un secteur circulaire "au centre" (rayon R, angle au centre a (en radians)): R²a/(2pi).

La demi-aire (on a coupé "verticalement") est la différence de l'aire d'un secteur circulaire (rayon 4, angle 2pi/3) et d'un triangle (base  4rad(3), hauteur 2). L'aire du "trou" est donc: 2[16pi/3  -  4rad(3)].

L'aire demandée est alors:     48  + 76pi/3  +  8rad(3)